„Noli tangere circulos meos!” Se spune că acestea au fost ultimele cuvinte ale celui mai mare matematician al antichității, Arhimede. Erau rostite la Siracuza, în momentul în care cetatea cedase sub asaltul romanilor. Zadarnic fusese efortul său. Mașinăriile pe care le inventase pentru apărarea Siracuzei nu au făcut decât să amâne un deznodământ inevitabil. În ultimele momente ale vieții, Arhimede se reîntorsese la pasiunea vieții lui: geometria. Rupt de agitația mortală a războiului, desena cercuri pe nisip, încercând să le pătrundă înțelesurile ascunse. Nu avea de unde să știe că tocmai geometria ne-ar putea ajuta să descifrăm Universul fizic.
Geometria a apărut în mai toate culturile lumii, încă din cele mai vechi timpuri, ca o necesitate practică. Trebuiau măsurate terenuri, calculate suprafețe și volume etc. De fapt, geometria, din punct de vedere etimologic, tocmai asta înseamnă: măsurarea pământului. Acest subiect ar merita o carte bine scrisă, pentru că această geometrie practică a pavat drumul către înțelegerea lumii. Totuși, nu am fi putut să depășim un anumit prag, dacă nu am fi reușit să trecem dincolo de concretețea unei geometrii utilitariste, aplicabilă pentru nevoi practice imediate.
Titanii
Primul pas a fost făcut de Euclid din Alexandria. El a sistematizat geometria în monumentala sa lucrare ”Elemente”. Această lucrare este, după Biblie, probabil cea mai tradusă carte din lume și, de mai bine de 2.000 de ani, își păstrează neștirbită valoarea. Euclid, prin defințiile și axiomele sale pune, de fapt, o importantă piatră de temelie la structurarea raționamentului științific. În numai cinci axiome el pune bazele geometriei, pe care noi acum o numim geometrie euclidiană. Sunt de ajuns cinci adevăruri evidente, pentru a construi o întreagă lume matematică! Cea de-a cincea axiomă a lui Euclid poartă cu sine o mare dilemă. În varianta ei cea mai simplă această axioma se enunță așa: ”Într-un plan, printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o paralelă și numai una singură”. Există și o variantă mai lungă, deci mai puțin elegantă, care se enunță așa: ”Dacă o dreaptă tăind două drepte formeaza unghiurile interne și de aceeași parte mai mici decât două unghiuri drepte, cele doua drepte prelungite la infinit se vor întâlni în partea în care se află unghiurile mai mici decât două unghiuri drepte”.
Această a cincea axiomă a lui Euclid, numită și axioma paralelelor este una cu bucluc. Este cu adevărat o axiomă sau poate fi demonstrată pe baza primelor patru? Întrebarea este frumoasă pentru că are un enunț simplu iar raspunsul la ea este greu de dat. Au trebuit să treacă aproape două milenii până să primească unul. Un răspuns surprinzător, deci neașteptat.
Să deschidem acum o mică paranteză. Mai țineți minte legenda nodului Gordian? Era vorba despre un car de luptă din Frigia, a cărui oiște era legată de jug printr-un nod, de către un simplu țăran, Gordius, drept slavă lui Zeus. Nodul acesta era suficient de complicat pentru ca în jurul lui să apară obișnuita legendă. Se profețea că cel ce va putea desface acest nod, nodul Gordian, va deveni stăpânul Asiei. Ajuns în Asia Mică, Alexandru Macedon a auzit de profeție și a ținut să vadă minunea. Ajuns în fața nodului, nu a stat mult pe gânduri, și-a scos sabia și, cu o singură lovitură, a tăiat nodul în două. ”Nu contează cum desfaci nodul ăsta!”, ar fi exclamat el. Am încheiat paranteza.
Cam la fel au stat lucrururile și cu faimoasa axiomă a cincea a lui Euclid. Dacă nu putem decide dacă este o axiomă sau ceva ce poate fi dedus din celelalte patru, ce ar fi dacă, pur și simplu am nega-o? Este un pas teribil de îndrăzneț. Este evident, pentru toată lumea care nu este stăpânită de rigoarea gândirii impusă de matematică, faptul că într-un plan, printr-un punct exterior unei drepte, nu poți duce decât o paralelă și numai una singură. A fost nevoie ca matematica și formalismul ei abstract să evolueze foarte mult pentru ca acestă propunere, prin care negăm a cincea axiomă a lui Euclid, să se materializeze în teorie.
Dacă este să fim riguroși, există două moduri de a nega buclucașa axiomă. În prima variantă putem afirma că printr-un punct exterior unei drepte putem duce cel puțin două paralele la respectiva dreaptă. În a doua variantă putem spune că printr-un punct exterior unei drepte nu putem duce nici o paralelă.
Pe prima variantă a mers ungurul János Bolyai. El a păstrat primele patru axiome ale lui Euclid, la care a adăugat negarea celei de a cincea. În 1832 și-a publicat concluziile în apendicele unui tratat de matematică scris de tatăl său. Lucrarea a ajuns și la marele matematician Gauss, care s-a mulțumit să remarce că pe același drum mergea și el. Dar un alt mare matematician, rusul Lobacevski publicase deja, în 1829, o lucrare similară. Bolyai a descoperit-o abia în 1848. Nașterea primei geometrii neeuclidiene a fost rezultatul a două genii în matematică care au gândit complet independent unul de altul. Nu uitați, pe atunci viteza de deplasare a informațiilor era extrem de mică. Era mai mică decât viteza pasului unui om. Acum, în acest splendid secol XXI, informația se deplasează cu viteza luminii. De altfel Bolyai a crezut tot timpul că Lobacevski nu există, că de fapt acest nume este pseudonimul lui Gauss. Dar asta este o altă poveste, pe care o vom scrie cândva.
Pe a doua variantă a mers Riemann, evident, un alt matematician de geniu. El a plecat de la ideea unei geometrii în care dintr-un punct exterior unei drepte nu poți duce nici o paralelă.
În acest moment apare pe scenă Gauss, care i-a cerut, în 1853, lui Riemann să pregătească o lucrare despre bazele geometriei, pentru a obține titlul de doctor docent. În numai câteva luni Riemann dezvoltă o geometrie generalizată n-dimensională (o geometrie a spațiului cu mai multe dimensiuni) care avea să fie fundamentul pentru ceea ce acum poartă numele de geometrie riemanniană.
Nu vrem acum să intrăm în detalii (poate că o vom face cândva, deoarece personajele pe care le-am amintit în treacăt mai sus reprezintă nu numai niște repere în istoria matematicii, ci sunt niște personaje de-a dreptul fascinante). Dar ceva vom face în continuare. Ne vom pune o întrebare pe care și-au pus-o, printre alții, Gauss, Bolyai, Lobacevski și Riemann. Există vreo legătură între geometrii (ați văzut deja că sunt cel puțin trei) și lumea fizică reală?
O primă testare
Așa cum spuneam, chiar la începutul acestui text, geometria s-a născut ca o necesitate practică. Am putea afirma că cel puțin geometria euclidiană are un suport fizic. Dar afirmația singură nu are nici o valoare dacă nu este însoțită de dovada corespunzătoare. Trăim într-un Univers euclidian? Aceasta este întrebarea. Întrebarea și-a pus-o și Gauss, care și-a propus să găsească un răspuns prin măsurători directe. Acum trebuie să vă aduceți aminte o teoremă simplă și importantă din geometria euclidiană. Într-un triunghi suma unghiurilor interne este totdeauna 180 de grade. (În geometriile neeuclidiene acestă sumă este diferită de 180 de grade.) Pasul următor a fost simplu. S-au montat niște dispozitive simple pe vârfurile a trei munți (Hohenhagen, Brocken și Inselsberg). Cum trei puncte determină un triunghi, nu a mai rămas decât să i se măsoare unghiurile interne. Rezultatul: suma acestor unghiuri este 180 de grade, deci, la scară terestrră, trăim într-un spațiu euclidian.
Am trăit într-un spațiu euclidian până când o revoluție a venit să răstoarne concepte adânc înrădăcinate într-o fizică newtoniană. Știți deja. Este vorba despre…
Teoria relativității
Mai exact, este vorba despre teoria generalizată a relativității, dezvoltată de către Einstein între anii 1907 și 1915. În esența aceasta este o teorie a gravitației. Din nou suntem nevoiți să simplificăm enunțurile și vom spune că această teorie stabilește, printre altele, faptul că structura spațiu-timpului este deformată în prezența maselor mari. Altfel spus, corpurile cerești modifică geometria locală. Practic, nu mai avem de-a face, în acest caz, cu o geometrie euclidiană, ci cu o alta neeuclidiană. Teoria sa a fost testată, de către Eddington, în timpul eclipsei de Soare din 29 mai 1919. Astfel s-a putut constata că, în apropierea Soarelui, razele de lumină ce veneau de la o stea îndepărtată erau deviate. Spațiu-timpul se curba, asta însemnând că nu mai avem de-a face cu o geometrie euclidiană în vecinătatea Soarelui. (Evident, riguros vorbind, și Pământul deformează spațiu-timpul. Dar este vorba despre o deformare extrem de mică și numai niște măsurători ultraprecise ar putea să o pună în evidență. Putem afirma liniștiți că geometria euclidiană este o foarte bună aproximare pentru spațiul din vecinătatea noastră.)
Einstein a mers mai departe. A luat în considerare întreg Universul, cu toată materia și energia conținute în el. Plecând de la niște considerații relativ simple, el a scris o ecuație prin care este descrisă comportarea întregului Univers. Este vorba despre faimoasa ecuație de câmp a gravitației. Plastic prezentată, parafrazând pe fizicianul american John Archibald Wheeler, această ecuație poate fi prezentată ca fiind o expresie matematică în care spațiu-timpul îi spune materiei cum să se miște iar materia îi spune spațiu-timpului cum să se curbeze. Nu este nevoie să vă prezentăm aici expresia matematică a acestei ecuații, fundamentale pentru înțelegerea Universului (apar în formularea ei niște obiecte matematice numite tensori, care ar putea sa vă sperie puțin). Dar vrem să subliniem un aspect: în această ecuație se face legătura dintre geometria Universului și masa împreună cu energia conținute în el.
Ne dăm seama că avem acum o problemă. Riscăm să devenim un pic prea didactici. De aceea credem că se cuvine să introducem un mic scandal, așa cum este obiceiul în presa noastră.
Greșeala lui Einstein?
Ecuația de care vorbim avea o problemă. Descria un Univers care evoluează, nu unul static, așa cum îi plăcea lui Einstein. El avea o prejudecată fundamentală. (În tabloidele noastre ar apărea aici poza lui Einstein cu explicația: Ai prejudecăți Einstein!) Universul trebuia să fie etern și, la scară mare, să rămână nemodificat. Nu își putea imagina altceva. Din acest motiv a introdus în ecuația sa un termen suplimentar, faimoasa constantă cosmologică, lambda. Era un termen ce introducea o forță antigravitațională, care, intervenind la scară mare, ar fi trebuit să asigure o stare staționară pentru întreg Universul. Nu era o procedură prea elegantă și, mai mult decât atât, strica grav frumusețea ecuației inițiale.
Fizicianul rus Alexander Alexandrovici Friedmann nu a fost de acord cu această modificare a ecuației, impusă de Einstein. El a descoperit că tocmai ecuația de câmp a lui Einstein duce la conculuzia că Universul nu este unul static. El a înțeles că respectiva ecuație ar putea indica un Univers aflat în expansiune. Avea să fie confirmat prin observațiile lui Hubble. În ecuațiile lui Friedmann apare un termen care ne interesează foarte mult: densitatea medie a Universului. Această densitate medie a Universului determină geometria sa la scară mare. Dacă aceasta este egală cu o anumită valoare, numită densitate critică, atunci trăim într-un Univers euclidian, adică într-unul în care suma unghiurilor unui triunghi este egală cu 180 de grade. Dacă densitatea medie este mai mică decât cea critică, atunci trăim într-un Univers neeuclidian, cu o rază de curbură negativă (la cel euclidian raza de curbură ar fi zero), iar dacă este mai mare atunci tot neeuclidian ar fi Universul, numai că ar raza de curbură ar avea o valoare pozitivă.
Ne dăm seama că acum, în loc să aveți un scandal complet, aveți o nedumerire. Cum vine chestia asta, în care apar curburi pozitive sau negative? Cum ar arăta asemenea geometrii? Răspunsul este simplu. Dacă vă puteți imagina o șea, atunci aveți vizualizarea unei suprafețe cu o curbură negativă. Aceasta este geometria lui Bolyai și Lobacevski, în care suma unghiurilor unui triunghi este mai mică de 180 de grade. Iar dacă vă puteți imagina suprafața unei sfere, atunci aveți imaginea unei suprafațe cu o curbură pozitivă. Aceasta este geometria lui Riemann, în care suma unghiurilor unui triunghi este mai mare de 180 grade.
A greșit Einstein introducând acel termen suplimentar, constanta cosmologică? El însuși afirma că este cea mai mare greșeală a vieții sale. A greșit? Înainte de vă da răspunsul se cuvine să vă mai spunem ceva. În vremea în care Einstein concepea ecuația pe care o comentăm de atâta vreme Universul nu era mai mare decât galaxia noastră. Astronomii vedeau niște nebuloase ici și colo, dar nimeni nu se gândea că ele ar fi niște obiecte foarte îndepărtate, niște surori ale Căii Lactee. Abia Hubble, prin 1924, a descoperit că acele nebuloase sunt obiecte extragalactice și că ele se îndepărtează de noi. Abia de atunci a putut să se vorbească de expansiunea Universului. Și, în 1998 s-a mai descoperit ceva. Viteza de expansiune a Universului crește! Expansiunea este una accelerată! Am pus semne de exclamare la cele două propoziții precedente dintr-un motiv tabloid. Aceste constatări demonstrează că Einstein avea dreptate. Este nevoie de această constantă cosmologică pentru a explica expansiunea accelerată a Universului. Nu uitați, această constantă are rolul unei forțe antigravitațonale la scară mare. Dar să revenim la geometrie…
Geometria Universului
Cum putem testa geometria Universului la scară mare? Aceasta este noua noastră întrebare. Iar răspunsul este simplu. Vedem ce se îmtâmplă cu triunghiurile. Imaginați-vă ca dorim să vedem ce fel de geometrie guvernează spațiul din vecinătatea Pământului. Avem la dispoziție o metodă elegantă și simplă. Asta pentru că avem la dispoziție Luna. Cunoaștem diametrul Lunii, putem afla în fiecare moment distanța până la Lună (le puteți lua din tabele). Nu ne mai rămâne decât să ne construim un dispozitiv cu ajutorul căruia să măsurăm diametrul aparent al Lunii. Altfel spus, trebuie să determinăm unghiul sub care vedem Luna. Restul este o joacă de elev de clasa a șaptea.
Avem un triunghi isoscel în care cunoaștem baza și înălțimea. Putem calcula destul de ușor unghiul la vârf în acest triunghi. Să îl botezăm pe moment alfa pe acest unghi. Ei bine, dacă valoarea măsurată de noi este egală cu alfa, atunci structura Universului în vecinătatea noastră este una euclidiană. Dacă este mai mică decât alfa atunci spațiul dintre noi și Lună are geometria unei șei, adică are o curbură negativă. Dacă, dimpotrivă, valoarea măsurată de noi este mai mare decât alfa, spațiul dintre noi și Lună are o curbură pozitivă, deci geometria unei sfere. Acum, dacă nu vă apucați dv înșivă să faceți respectivele calcule, va trebui să ne credeți pe cuvânt. Diametrul aparent sub care vedem Luna este de circa 0,52 grade (aceasta este o valoare medie, desigur), iar asta ne arată că spațiul dintre noi și Lună este unul euclidian.
Dar la scara întregului Univers? La scara întregului Univers vom folosi aceeași metodă. Vom căuta un triunghi a cărui bază să aibă o dimensiune cunoscută, care să se afle la o distanță cât mai mare de noi. Apoi vom măsura unghiul sub care vedem respectiva bază a triunghiului. Acum haideți să căutăm împreună acel triunghi.
Care este obiectul cosmic care se află la cea mai mare distanță de noi? Fondul cosmologic de radiații, care este, de fapt, o imagine a Universului, așa cum era el la 380.000 de ani după Big Bang. În 2001, NASA lansa sonda WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe), care a avut drept misiune tocmai ”cartografierea” fondului cosmologic de radiații cu un nivel de detaliere nemaiatins până la ea. Pe baza datelor transmise timp de câțiva ani s-a putut realiza o hartă a variațiilor de temperatură extrem de precisă (sonda europeană Plank, aflată acum în spațiu, va realiza o hartă și mai detaliată). Acum trebuie să vă spunem ceva foarte important. Pe hartă puteți vedea diferite pete colorate (culoarea este un indiciu al temperaturii), ei bine, diametrul acestor pete nu poate fi mai mare decât o anumită valoare, iar aceasta este circa 200.000 de ani lumină. Plecând de la această constatare, în 2006, o dată cu publicarea datelor prelucrate după primii trei ani de funcționare a sondei WMAP, s-a putut ajunge la o conluzie importantă pentru obiectul acestui articol. Ei bine, la scară mare Universul nostru este unul euclidian!
Ni se termină hârtia pe care așternem aceste rânduri, așa că nu vom face comentarii suplimentare. Vom spune acum, pentru a vă pregăti pentru viitorul nostru articol, doar că, atunci când coborâm la scară cuantică Universul acesta care, la scară mare, are o geometrie atât de simplă devine unul extrem de complicat. Gândiți-vă, acolo ar trebui să ne folosim de o geometrie cu 11 dimensiuni!
Concluzie
La acest ultim capitol, pentru a lăsa o urmă de nedumerire, preferăm să îl cităm pe Einstein.
”În acest punct survine o mare enigmă, care i-a neliniștit în mod deosebit pe cercetătorii din toate timpurile. Cum este posibil ca matematica, care este un produs al gândirii omenești îndependent de orice experiență, să se potrivească totuși atât de bine obiectelor realității? Poate, așadar, rațiunea omenească să cerceteze însușiri ale lucrurilor reale prin simplă gândire, fără ajutorul experienței?
La aceasta se poate răspunde, după părerea mea, scurt: în măsura în care propozițiile matematicii se raportează la realitate, ele nu sunt sigure, iar în măsura în care sunt sigure, ele nu se raportează la realitate”.
