Să (ne) vedem în 4D – a patra dimensiune demonstrată matematic

Problema studiului corpurilor cu mai multe dimensiuni nu este una nouă. Deși lumea concretă în care trăim are doar trei dimensiuni materiale măsurabile, universul însuși fiind tridimensional, concepte precum „multivers” sau „spații n-dimensionale” au fost elaborate atât în lumea artei, cât și în cea a științelor exacte, ba chiar, am putea spune, și în cea a misticii.

În lumea artei, SF-ul este de departe cel mai interesat de multidimensionalitate, deși de-a lungul vremii nu a fost una dintre temele sale predilecte, ci doar un concept ajutător. Astfel, cel mai la îndemână mod de călătorie prin cosmos în SF rămâne „gaura de vierme”, o scurtãtură printr-un „pliu” al spațiului tridimensional în multiversul multidimensional, însă acesta este doar un mod de transfer, un artificiu, nu o problematică în sine de studiat.

Geometria… multispațială

Dacă vom arunca o privire retrospectivă, vom avea dubla surpriză de a afla că acest concept există încă din anul 1666, când a apărut odată cu povestea „The Blazing World” de Margaret Cavendish, poveste în care o poartă lega Pământul de o lume cu alte constelații pe cer, iar mult mai aproape de problematica pe care o vom aborda în cele ce urmează, și anume trecerea între lumi diferite ca număr de dimensiuni ortogonale, a fost introdusă în 1884, de către Edwin Abbott Abbott prin al său „Flatland, A Romance Of Many Dimensions”, operă care personifică figurile geometrice plane și le pune față în față cu corpurile geometriei în spațiu.

Deși interesantă și doar din această perspectivă, povestea cu pricina ține să mai uimească încă o dată, când lansează întrebarea: „dar mai departe, ce-o fi?”. Exact asupra acestei întrebări aș vrea să ne concentrăm în cele ce urmează, în cel mai practic și… „vizual” mod cu putință. Căci, fie că e vorba despre literatură, fizică sau geometrie, ceea ce nu putem vizualiza, foarte greu vom ajunge să înțelegem pe deplin. Și asta cu toate că lumea științei a acceptat de multă vreme faptul că percepția nu poate, ea singură, defini realitatea.

Până de curând, când conceptul de „tesseract” a început să prindă o oarecare vigoare, desș ecuațiile entităților definite pe spații n-dimensionale s-au banalizat în geometria analitică, în mod curios, problema reprezentării lor vizuale nu s-a bucurat niciodată de un prea mare interes. Însă, odată ce admitem că unele fenomene au loc dincolo de posibilitățile noastre de percepție, iar pentru a le putea digera, măcar parțial, o formă vizuală de reprezentare este de mare ajutor (nu degeaba se spune că „o poză face cât o mie de cuvinte”), necesitatea reprezentării corpurilor cu mai mult de trei dimensiuni devine evidentă.

Ochiul rezolvă într-o fracțiune de secundă, dacă i se oferă într-o formã familiară, ceea ce minții i-ar lua poate ore întregi să analizeze doar din ecuații sau șiruri. Ne-o dovedește însuși conceptul de grafic al funcției, folosit nu doar în matematică, ci și în economie sau studii sociale. Așa stând lucrurile, dacă revenim la geometrie, nu cred că e de mirare că reprezentarea grafică este baza înțelegerii.

Sigur, simpla imagine este inexactă și insuficientă, însã e necesară în rezolvarea oricărei probleme a acestei ramuri a matematicii. Tocmai despre aceste reprezentări grafice vom vorbi mai departe, încercând, așa cum Edwin Abbott Abbott ne îndeamnă încă din secolul nouăsprezece, să vizualizăm ce e dincolo de spațiul nostru tridimensional. Vom proceda la fel cum a făcut-o și profesorul englez în demersul său literar (numit și ficțiune matematică), pornind de la evoluția bidimensionalului spre tridimensional.

Vizualizarea hiperspațiului

Mai întâi vom fixa sistemele de coordonate, pentru referință, pornind de la desenul unui sistem tridimensional de axe carteziene pe hârtie. După cum se știe, un plan (o foaie de hârtie, bunăoară) are doar două dimensiuni. Totuși, asta nu ne-a împiedicat niciodată să desenăm și să recunoaștem corpuri tridimensionale, nu-i așa? Cum anume facem acest lucru? Păi, foarte simplu: păcălind ochiul, făcându-I să creadă că anumite unghiuri sunt drepte, deși ele nu sunt. Tot astfel vom încerca să-I păcălim să vadă și corpuri cvadridimensionale.

Mai jos se observă cum, adăugând o axă sub un unghi oarecare (axa z) la sistemul plan de coordonate x-y, obținem un sistem fals tridimensional (cu toate cele trei axe respectiv perpendiculare), dar pe care ochiul îl acceptă ca atare fără probleme. Însăși vederea umană este plană, retina fiind dispusă pe o suprafață, iar profunzimea nu e percepută direct, ci prin triangulație și… „experiență”.

Ochiul vede imagini plane pe care, pe baza cunoașterii prealabile a realității, le transpune în spațiu. Ei bine, tocmai acest mecanism imperfect al vederii ne poate ajuta să o forțăm chiar și dincolo de ce este real. Cum ochiul poate fi convins cã axa z iese din plan, poate fi convins și că patru drepte sunt respectiv perpendiculare. Concret, procedând la fel ca mai sus, vom porni de la macheta în spațiu a unui sistem de coordonate spațiale x-y-z, cu toate cele trei axe perpendiculare, și o vom adăuga pe cea de-a patra, sub un unghi oarecare, forțând apoi ochiul să vadă oricare două dintre cele patru axe ca fiind perpendiculare între ele.

(Pentru a oferi o soluție ușor reconstituibilă se pot alege bile și tije magnetice ușor de procurat) Vom obține astfel o entitate geometrică definită de patru dimensiuni, căreia îi vom spune în continuare hiperspațiu.

Puteți, dacă încercați, să vă convingeți că oricare două axe sunt perpendiculare? Perfect, suntem pe drumul cel bun! Mai mult decât atât, putem forța ochiul să accepte drept valid un astfel de sistem de axe chiar și desenat pe hârtie, trasând câte două axe cu adevărat perpendiculare între ele și marcând și celelalte unghiuri ca fiind drepte:

Așadar, la fel cum, adăugând o axă z planului x-y, am obținut spațiul x-y-z, având trei planuri perpendiculare: x-y, x-z și y-z, adăugând încă o axă q spațiului x-y-z, am obținut hiperspațiul cvadridimensional x-y-z-q, având patru spații „perpendiculare” între ele: x-y-z, x-y-q, x-z-q și y-z-q, respectiv șase planuri perpendiculare: x-y, x-z, x-q, y-z, y-q și z-q. Le puteți vizualiza? Sunt fiecare, vizual, spații tridimensionale, respectiv planuri?

Pentru a ne asigura că nu am uitat niciun element, putem folosi calculul combinațional: având la dispoziție un număr de patru axe ortogonale și știind că avem nevoie de două pentru un plan și trei pentru un spațiu, problema determinării numărului acestora e aceeași cu a rezolva C_n^k: unde n = numărul de axe disponibile, iar k = numărul de axe necesare (C₄² = 6, în cazul planurilor unui hiperspațiu, respectiv C₄³ = 4, în cazul spațiilor unui hiperspațiu). Exact același calcul stă și la baza determinării numărului de planuri dintr-un spațiu tridimensional, însă, fiind o problemă atât de comună, rezolvarea ei pare intrinsecă.

Acum, că am definit hiperspațiul, haideți să-l și populăm, căci aici voiam, de fapt, să ajungem: la vizualizarea hipercorpurilor cvadridimensionale. Ne vom mulțumi în acest articol cu vizualizarea celor mai simple dintre ele, și anume hiperparalelipipedul dreptunghic (fratele cu laturi inegale al hipercubului, sau tesseractului) și hipertetraedrul dreptunghic. Le vom construi având ca bază paralelipipedul dreptunghic, respectiv tetraedrul dreptunghic, în același fel în care acestea din urmă au fost construite având la bază dreptunghiul, respectiv triunghiul dreptunghic.

Hiperpalalelipipedul dreptunghic

Să începem cu construirea hiperparalelipipedului, pornind de la un simplu dreptunghi în planul x-y. Intuitiv, se poate vizualiza cum, „trăgând” sau „multiplicând” dreptunghiul de-a lungul axei z, se obține paralelipipedul dreptunghic. Folosind același procedeu în spațiul 4D, vom „trage” paralelipipedul de-a lungul axei q, iar hiperparalelipipedul dreptunghic va apărea astfel:

Pentru o reprezentare mai explicită, o machetă 3D poate fi confecționată ca mai jos, din două paralelipipede identice având colțurile unite de laturi paralele trasate de-a lungul axei q, cea fals perpendiculară pe toate celelalte:

Odată realizată macheta, vă provoc să identificați si să „vizualizați” toate paralelipipedele dreptunghice care delimitează acest hiperparalelipiped! Veți vedea că, odată ce vă veți convinge privirea să accepte ca fiind drepte câteva unghiuri fals drepte, corpurile tridimensionale care „îmbracă” acest corp 4D vi se vor părea la fel de normale ca dreptunghiurile în formă de paralelogram care închid un paralelipiped dreptunghic desenat pe hârtie.

Și, pentru că un demers științific nu este complet fără câteva ecuații, vă propun să analizăm principalele mărimi caracteristice ale acestor corpuri, păstrând analogia cu dreptunghiul și paralelipipedul dreptunghic. Care sunt acestea? Păi, pentru dreptunghi (figură plană) – aria și perimetrul, iar pentru paralelipiped (corp tridimensional) – volumul și aria laterală.

Observăm că amândouă aceste entități geometrice sunt caracterizate de câte o mărime proprie spațiului lor, definită pe maximul număr de dimensiuni disponibile. În primul rând, aria (2D) pentru dreptunghi și volumul (3D) pentru paralelipiped – mărimi care determină cât spațiu ocupă, de fapt, entitățile. Apoi de câte o mărime improprie acelui spațiu, definită pe un număr de dimensiuni cu o unitate mai mic decât al spațiului respectiv, mărime care reprezintă entitatea care „închide” geometric acel corp: perimetrul (1D) în cazul dreptunghiului, respectiv aria laterală (2D) în cazul paralelipipedului.

Extinzând, hiperparalelipipedul va fi definit de un hipervolum (4D) și de un volum lateral (3D) reprezentat de suma volumelor paralelipipedelor din extremitățile sale. Pentru că, dacă un dreptunghi este închis de segmente, iar un paralelipiped e închis de dreptunghiuri, un hiperparalelipiped va fi închis de paralelipipede, nu-i așa? Exact, cele 8 pe care le-ați identificat puțin mai devreme.

Pentru început, haideți să enumerăm formulele geometrice cunoscute.

Intuitiv, urmărind formulele din 2D și 3D, căutând o regulă și extinzând-o în 4D, vom fi tentați să credem că:

Acestea sunt formule verificate pentru cele două cazuri precedente. Pentru volumul lateral al hiperparalelipipedului nicio demonstrație nu e necesară, simpla urmărire a paralelipipedelor din extremitățile sale, ale căror formule de calcul pentru volum le cunoaștem, fiind suficientă pentru a observa că intuiția a fost corectă.

Pentru hipervolum se poate folosi metoda calculului integral pentru a demonstra formula. Prin analogie cu calculul suprafeței prin integrala simplă, respectiv calculul volumului prin integrala dublă, determinarea hipervolumului se va face folosind o integrală triplă, ca în continuare. Deși în matematică integrala triplă pe volum este acceptată în mod uzual ca reprezentând „densitate“, o a patra dimensiune fizică o poate caracteriza încă și mai bine.

Datorită faptului că am ales aceste entități în așa fel încât ele să conțină doar laturi paralele, calculul integral devine foarte simplu, toate funcțiile de integrat fiind, de fapt, constante:

Hipertetraedrul dreptunghic

Acum, după ce ne-am încălzit mințile cu acest caz foarte simplu, haideți să analizăm și cel de-al doilea corp, anume hipertetraedrul dreptunghic. La fel ca în cazul precedent, vom purcede prin a observa modul în care acesta ia ființă, pornind de la triunghiul dreptunghic.

Acum, în loc să „tragem” sau să „multiplicăm” triunghiul din planul x-y de-a lungul axei z, vom lua un punct de pe axa z, la o distanță oarecare față de planul triunghiului, și-l vom uni cu toate colțurile acestuia, obținând astfel tetraedrul dreptunghic. Ca și când am „multiplica” triunghiul, „micșorându-l” totodată în mod constant, până la punctul final. În același mod, considerând de data aceasta un punct pe axa q în afara spațiului x-y-z și unindu-l cu cele patru puncte ale tetraedrului dreptunghic obținut anterior, vom genera hipertetraedrul dreptunghic.

Și în acest caz, pentru o vizualizare mai bună se poate realiza o machetă 3D, ca mai jos, plecând de la un tetraedru dreptunghic și trăgând muchii de la fiecare dintre colțurile sale la un punct de pe axa q, cea fals perpendiculară pe toate celelalte trei ale spațiului x-y-z: puteți identifica cele patru tetraedre care au apărut și care delimitează corpul 4D? Sunt convins că da.

Formulele geometrice relevante în acest caz ar fi:

Tot intuitiv, ca în cazul precedent, haideți să găsim și:

Din nou, formule care se dovedesc adevărate în 2D și 3D.

Volumul lateral este iarăși relativ ușor de demonstrat, urmărind imaginea și identificând cele patru volume ale tetraedrelor dreptunghice, ale căror formule le cunoaștem, plus volumul tetraedrului de la bază, calculat cu teorema lui De Gua extinsă. lar demonstrația prin integrare triplă pe volum pentru hipervolumul hipertetraedrului este cea de mai jos (aici lucrurile se complică puțin, deoarece funcțiile de integrat, deși Iineare, nu mai sunt constante, ci sunt toate descrescătoare cu o pantă anume):

Pentru o și mai bună vizualizare, similar procedeului prin care un corp tridimensional este proiectat în cele trei planuri, realizându-se astfel reprezentarea în „epură”, și corpurile cvadridimensionale pot fi proiectate în cele patru spații 3D, ca mai jos, obținându-se astfel „vederea” în fiecare dintre cele patru spații componente ale hiperspațiului asupra hipercorpului studiat:

Acum vă provoc să modelați, desenați și analizați și alte corpuri cvadridimensionale. lar, dacă vă întrebați de ce anume ar fi interesantă reprezentarea vizuală a unor corpuri abstracte, definite pe mai multe dimensiuni decât lumea concretă, să zicem doar atât… pentru că nu putem ști când și cum lumi mai complexe ne vor chema să le explorăm.